自考《近世代数》10025 2011年真题

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所属分类:自考试题
摘要

课程名称:《近世代数》
课程代码:10025
试题年份:2011年

课程名称:《近世代数》课程代码:10025

试题年份:2011

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 设集合A中含有3个元素,集合B中含有4个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有______个元素。(      )

A. 3  B. 4

C. 7  D. 12

2.设A=B=R (实数集),如果A到B的映射

:x→2x,  x∈R,

则 是从A到B的______。(      )

A. 满射而非单射 B. 单射而非满射

C. 一一映射  D. 既非单射也非满射

3. 设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},则S3的子群共有______个。 (      )

A. 2  B. 4

C. 6 D. 8

4.设Z 12是以12为模的剩余类加群,那么,Z 12的生成元共有______个。  (      )

A. 4 B. 6 

C. 8   D. 12

5. 设I1,I2是环R的两个子环,0是环R的零元素,那么在下列集合中,______未必是环R的子环。 (      )

A. I1 I2={x | x∈I1或x∈I2} B. {0} 

C. I1 I2={x | x∈I1且x∈I2}   D. 环R本身

二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6. 设“ ”是集合A×A到A的一个代数运算,如果对于 a,b,c∈A,“ ”满足______,则称代数运算“ ”适合结合律。

7. 设(G,?)是一个群,则对于 a,b,c∈G,方程ax=b和ya=b在G中有唯一解,那么,这两个方程的解分别为______。

8. 设 =(5234), =(135)∈S5,那么, =______(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9. 设Z12={[0],[1],[2],…,[11]}是以12为模的剩余类加群,那么,Z12的子群共有______个。

10. 在3次对称群S3中,设子群H={(1),(23)},则子群H关于元素 (132) 的右陪集H(132)=______。

11. 设 (R,+,?)是一个至少含有两个元素的环,如果R满足______,则称R是一个除环。

12. 设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,那么,在Z6的子集

{[0],[2],[4]}, { [1] }, {[0],[3]}

中,______不是Z6的子环。

13. 设F是一个域,则F的理想有______个。

14. 设Z[x]是整系数多项式环,f (x)=6x2-24,则f (x)在Z[x]中的不可约分解为______。

15. 已知 ,i是有理数域Q上的两个代数元,则Q ( ,i)在有理数域Q上的扩域次数:

(Q ( ,i) : Q)=______。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

16.设Z9为以9为模的剩余类加群,即Z9={[0],[1],[2],…,[8]}。

找出Z9的全部生成元,并找出Z9的所有子群。

17.设数集G={2m3n | m,n∈Z},已知G关于数的乘法作成群。作G到G的映射:2m3n→2m, 2m3n∈G,验证 是G到G的一个同态映射,且求映射 的核Ker 。

18.设Z5[x]为以5为模的剩余类环Z5={ }上的一元多项式环,在Z5[x]中化简(给出化简的步骤):。

四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)

19.设G是一个群,a,b∈G,如果元素a的阶为3,b的阶为4,且ab=ba,证明:ab的阶为12。

20.设H是循环群G的子群,证明:H也是循环群。

21.设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I是R的一个子环,但不是理想。

“2011年10月浙江省自学考试近世代数真题”由重庆自考网整理发布。

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